Applications of the method of topological roughness to the study of synergetic systems of geodynamics
Keywords:
topological roughness of dynamical systems, synergetic systems and chaos, singular points of phase space, Sylvester matrix equation, condition number of matricesAbstract
A method for studying the roughness of dynamic systems based on the concept of roughness according to Andronov-Pontryagin and called the «method of topological roughness» is considered. The definitions of the concepts of maximum roughness and minimum roughness of dynamic systems are given, the corresponding theorems are formulated on the necessary and sufficient conditions for their attainability, as well as the occurrence of bifurcations of topological structures of dynamic systems, which were proved in the author’s works. The method allows you to control the roughness of systems based on the theorem formulated using the Sylvester matrix equation at singular points of the phase space. The main stages of studying the roughness and bifurcations of systems using the considered method are formulated in the form of an appropriate algorithm. The method can be used to study the roughness and bifurcations of dynamic systems, as well as synergetic systems and chaos of various physical nature. In the works of the author, the method was tested on the examples of many synergetic systems, such as attractors of Lorenz and Rössler, Belousov-Zhabotinsky, Chua, «predator-prey», Henon, Hopf bifurcations, etc. In this paper, the method is used to study geodynamic synergetic processes in the area preparing strong earthquakes.
References
Андронов А. А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. — 1937. — Т. 14. — № 5. — С. 247 – 250.
Аносов Д.В. Грубые системы // Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы: Сборник обзорных статей. 2. К 50-летию института (Труды .МИАН СССР.Т.169). - М.: Наука, -1985. - С. 59-93.
Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. Т. 32. - М.: ВИНИТИ, -1991. - С. 3-31.
Peixoto M.M. On structural stability, Ann. Math., 1959, vol. 69, no 1, pp. 199-222.
Оморов Р.О. Максимальная грубость динамических систем // Автоматика и Телемеханика. --1991. -№ 8. - С. 36-45.
Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Пер. с англ. -М.: -Мир, -1985. – 423 c.
Николис Г., Пригожин И. Познание сложного: Введение / Пер. с англ. -М.: -Мир, -1990.
Оморов, Р.О. Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к системам управления: Автореф. дисс. докт. техн. наук. СПб.: Санкт-Петербургский институт точной механики и оптики, -1993. – 38 с.
Оморов Р.О. Метод топологической грубости: Теория и приложения. I. Теория // Известия НАН КР. 2009. № 3. – С. 144-148.
Omorov R.O. Topological Roughness of Synergetic Systems // Journal of Automation and Information Sciences. 2012. V. 44. No 4. Pp. 61-70.
Omorov R. Theory of Topological Roughness of Systems: Applications to Synergetic Systems and Chaos. Beau Bassin: Lap Lambert, 2019, 220 p.
Оморов Р.О. Прогнозирование землетрясений: Синергетический подход // Проблемы автоматики и управления. – 1997. - № 1. – С. 103-111.
Оморов Р.О., Омуралиев М.О., Землянский А.А. Исследование динамической модели процессов деформации горных массивов в период подготовки сильного землетрясения // Изв. НАН КР. – 2012. - № 4. – С. 73-79.
Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. – Бишкек: Илим, 1991. – 61 с.
Соболев Г.А., Завьялов А.Д. О концентрационном критерии сейсмогенных разрывов // Докл. АН СССР. – 1980. – Т. 252. - № 1. – С. 69-71.
Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вестник АН СССР. -1968. - № 3. – С. 46-52.
Берштейн В.А. Механо-гидролитические процессы и прочность твердых тел. –Л.: Наука. -1988. – 318 с.
